기술통계: 대푯값과 산포도
쉽게 말하면
데이터 여러 개를 숫자 한두 개로 요약하는 게 기술통계예요. '가운데가 어디냐'를 보여 주는 대푯값(평균, 중앙값, 최빈값)과 '얼마나 흩어졌냐'를 보여 주는 산포도(분산, 표준편차)가 있어요. 용돈이 대부분 몇만 원인데 한 명만 백만 원이면 평균은 확 올라가지만 중앙값은 거의 그대로예요.
시험용 정의
기술통계는 수집한 데이터를 표·그래프·요약 수치로 정리해 특징을 보여 주는 통계다. 중심을 나타내는 대푯값에는 산술 평균, 크기순 가운데 값인 중앙값, 가장 자주 나오는 최빈값이 있다. 흩어짐을 나타내는 산포도에는 범위(최댓값 - 최솟값), 분산(편차 제곱의 평균, 표본은 n - 1 로 나눔), 표준편차(분산의 제곱근), 사분위수 범위, 변동계수(CV = 표준편차 / 평균)가 있다. 모양을 나타내는 값은 왜도(비대칭 방향, 0 이면 대칭, 양수면 오른쪽 꼬리)와 첨도(뾰족한 정도, 정규분포는 3, 초과첨도로 쓰면 0)다.
비유로 이해하기
반 친구들의 통학 시간이다. 대부분 10~20분인데 한 명이 두 시간 걸리면 평균은 확 늘지만 '가운데 친구'(중앙값)는 그대로다. 표준편차는 친구들이 평균 시간에서 보통 몇 분씩 벗어나는지다. 분 단위를 초 단위로 바꾸면(× 60) 평균도 표준편차도 60배가 되지만 분포의 모양(왜도)은 변하지 않는다.
자세히
먼저 알아 둘 말
| 말 | 뜻 |
|---|---|
| 편차 | 각 값 - 평균 |
| 분산 | 편차 제곱의 평균. 표본분산은 Σ(편차²) / (n - 1) |
| 표준편차 | 분산의 제곱근. 원래 단위로 돌아온 퍼짐 |
| 왜도 | 분포가 어느 쪽으로 꼬리를 끄는지 |
| 첨도 | 분포가 얼마나 뾰족하고 꼬리가 두꺼운지 |
대푯값 세 가지
| 대푯값 | 구하는 법 | 특징 |
|---|---|---|
| 평균 | 모두 더해 개수로 나눔 | 모든 값을 쓰지만 이상값에 민감 |
| 중앙값 | 크기순 가운데 (짝수 개면 가운데 두 값 평균) | 이상값에 덜 흔들림 (저항성) |
| 최빈값 | 가장 자주 나온 값 | 범주형 자료에도 쓸 수 있음, 여러 개일 수 있음 |
꼬리 방향과 대푯값 순서
| 분포 | 왜도 | 순서 |
|---|---|---|
| 좌우 대칭 (정규분포) | 0 | 평균 = 중앙값 = 최빈값 |
| 오른쪽 꼬리 (소득, 집값) | 양수 | 최빈값 < 중앙값 < 평균 |
| 왼쪽 꼬리 (쉬운 시험 점수) | 음수 | 평균 < 중앙값 < 최빈값 |
선형 변환 y = ax + b 를 하면 (a > 0)
| 통계량 | 바뀐 값 |
|---|---|
| 평균, 중앙값, 최빈값 | a × 원래 + b |
| 범위, 표준편차, IQR | a × 원래 (b 는 영향 없음) |
| 분산 | a² × 원래 |
| 왜도, 첨도, 상관계수 | 그대로 |
그래프 고르기
| 그래프 | 쓰는 곳 |
|---|---|
| 히스토그램 | 연속형 변수 하나의 분포 모양 |
| 막대그래프, 원그래프 | 범주형 변수의 빈도·비율 |
| 산점도 | 연속형 변수 두 개의 관계 |
| 상자그림 | 분포 요약과 이상값, 집단 비교 |
| 줄기-잎 그림 | 작은 자료의 분포와 실제 값을 함께 |
시험에 이렇게 나와요
- 오른쪽 꼬리: 최빈값 < 중앙값 < 평균 (그림에서 봉우리부터 꼬리 쪽 순서)
- y = ax + b (a > 0) 에서 왜도는 변하지 않음. 평균·중앙값·표준편차는 변함
- 표본으로 계산한 평균·분산 = 통계량
- 변동계수 = 표준편차 / 평균, 단위가 다른 자료 비교
- 결측값을 0으로 채워 평균 내는 것은 틀림
확인 문제
Q1. 소득처럼 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포에서 평균·중앙값·최빈값의 크기 순서는?
- 중앙값 < 평균 < 최빈값
- 평균 < 중앙값 < 최빈값
- 최빈값 < 중앙값 < 평균
- 셋이 모두 같다
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3번 최빈값 < 중앙값 < 평균
큰 값 몇 개가 평균을 오른쪽으로 끌고 간다. 봉우리(최빈값)가 가장 왼쪽, 중앙값이 가운데, 평균이 꼬리 쪽이다.
Q2. x 의 표준편차가 3 일 때 y = 4x + 7 의 표준편차는?
- 3
- 12
- 19
- 48
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2번 12
표준편차는 a 배, 더한 값은 영향이 없다. 4 × 3 = 12.
Q3. x 의 분산이 5 일 때 y = 3x - 2 의 분산은?
- 5
- 13
- 15
- 45
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4번 45
분산은 a² 배. 9 × 5 = 45.
Q4. y = ax + b (a > 0) 로 변환해도 변하지 않는 것은?
- 평균
- 왜도
- 표준편차
- 중앙값
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2번 왜도
분포의 모양을 나타내는 왜도·첨도는 그대로다.
Q5. 단위가 서로 다른 두 변수의 흩어진 정도를 비교할 때 알맞은 것은?
- 범위
- 변동계수
- 분산
- 평균
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2번 변동계수
표준편차를 평균으로 나눠 단위를 없앤 변동계수를 쓴다.
Q6. 자료 1, 2, 2, 3, 100 에 대한 설명으로 옳은 것은?
- 최빈값은 100 이다
- 평균은 이상값에 영향을 받지 않는다
- 중앙값은 2 이고 평균보다 작다
- 평균과 중앙값이 같다
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3번 중앙값은 2 이고 평균보다 작다
중앙값 2, 평균 21.6. 큰 값 하나가 평균만 끌어올린다.
Q7. 두 연속형 변수 사이의 관계를 한눈에 보기에 가장 알맞은 그래프는?
- 막대그래프
- 원그래프
- 산점도
- 히스토그램
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3번 산점도
가로·세로에 두 변수를 놓고 점을 찍는 산점도다.
헷갈리기 쉬운 O·X
평균은 이상값에 민감하지만 중앙값은 상대적으로 덜 민감하다.
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O
왼쪽으로 꼬리가 긴 분포에서는 평균이 중앙값보다 크다.
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X 왼쪽 꼬리면 작은 값들이 평균을 끌어내려 평균 < 중앙값 이다.
모든 값에 같은 수를 더하면 표준편차도 그만큼 커진다.
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X 모두 같이 옮겨질 뿐 흩어짐은 그대로다.