거리와 유사도
쉽게 말하면
군집분석은 '가까운 것끼리 묶기'라서 먼저 무엇이 가까운지 정해야 해요. 지도 위 직선 거리가 유클리드, 바둑판 길을 따라 걷는 거리가 맨해튼이에요. 키(cm)와 몸무게(kg)처럼 단위가 다르면 큰 숫자가 거리를 독차지하니 표준화를 해요.
시험용 정의
개체 사이의 거리가 작을수록(또는 유사도가 클수록) 비슷하다고 본다. 연속형 변수에는 직선 거리인 유클리드 거리 √Σ(xi - yi)², 좌표 차이의 절댓값 합인 맨해튼 거리 Σ|xi - yi|, 이 둘을 일반화한 민코프스키 거리 (Σ|xi - yi|m)1/m, 가장 큰 좌표 차이인 체비셰프 거리를 쓴다. 단위 차이를 없애려 각 변수를 표준편차로 나눈 표준화 거리, 변수 사이의 상관까지 공분산 행렬로 반영한 마할라노비스 거리도 있다. 범주형·이진 자료에는 자카드 계수(교집합 / 합집합)와 단순 일치 계수, 방향을 보는 코사인 유사도를 쓴다.
비유로 이해하기
택시 요금과 헬리콥터 요금이다. 헬리콥터는 목적지까지 직선으로 날아가니 유클리드, 택시는 바둑판 같은 도로를 따라 가로·세로로만 가니 맨해튼이다. 택시가 헬리콥터보다 짧게 갈 수는 없다.
자세히
먼저 알아 둘 말
| 말 | 뜻 |
|---|---|
| 거리 | 작을수록 비슷함 |
| 유사도 | 클수록 비슷함. 1 - 유사도를 거리로 쓰기도 한다 |
| 표준화 | 각 변수에서 평균을 빼고 표준편차로 나눠 단위를 없애는 것 |
| 공분산 행렬 | 변수들의 분산과 서로 간 공분산을 모은 표 |
연속형 거리
| 거리 | 계산 | 특징 |
|---|---|---|
| 유클리드 | √Σ(차이)² | 가장 많이 씀. 직선 최단 거리 |
| 맨해튼 | Σ|차이| | 격자 길. 유클리드보다 크거나 같다 |
| 민코프스키 | (Σ|차이|m)1/m | m = 1 맨해튼, m = 2 유클리드 |
| 체비셰프 | max|차이| | 가장 많이 차이 나는 한 좌표만 |
| 표준화 거리 | 차이를 표준편차로 나눠 유클리드 | 단위·척도 차이 제거 |
| 마할라노비스 | 공분산 행렬의 역행렬 사용 | 변수 간 상관까지 고려한 통계적 거리 |
범주형·이진 유사도
| 지표 | 계산 | 쓰임 |
|---|---|---|
| 자카드 계수 | |A ∩ B| / |A ∪ B| | 장바구니, 이진 특성 (함께 0 인 것은 무시) |
| 단순 일치 계수 | 일치한 항목 수 / 전체 항목 수 | 이진 특성 (함께 0 도 일치로 셈) |
| 코사인 유사도 | A·B / (|A| |B|) | 문서·단어 벡터, 크기보다 방향 |
왜 표준화하나
연봉(만 원)과 나이(세)로 거리를 재면 연봉 차이 1000 이 나이 차이 10 을 압도한다. 각 변수를 표준화하면 두 변수가 비슷한 무게로 거리에 들어간다. R 에서는 dist(scale(x)) 처럼 쓴다.
시험에 이렇게 나와요
- 변수 간 상관관계를 고려한 거리 → 마할라노비스
- 연속형 거리가 아닌 것 → 자카드 (이진·집합용)
- 맨해튼은 유클리드보다 크거나 같다 ('항상 작거나 같다'는 틀림), 맨해튼 = 좌표 차 절댓값 합 = 격자 경로
- 민코프스키 m = 1 맨해튼, m = 2 유클리드
- 단조 비선형 관계 → 스피어만 (거리 지표 아님)
확인 문제
Q1. 점 (1, 1) 과 (4, 5) 사이의 맨해튼 거리는?
- 4
- 5
- 7
- 25
정답 보기
3번 7
좌표 차이의 절댓값을 더한다. |1 - 4| + |1 - 5| = 3 + 4 = 7. 유클리드 거리는 √(9 + 16) = 5 다.
Q2. 점 (2, 3) 과 (5, 7) 사이의 유클리드 거리는?
- 4
- 5
- 7
- 25
정답 보기
2번 5
5다. 유클리드 거리 = √((5-2)² + (7-3)²) = √(9 + 16) = 5다.
Q3. 변수 간 상관관계까지 고려해 통계적 거리를 재는 방법은?
- 마할라노비스 거리
- 유클리드 거리
- 맨해튼 거리
- 체비셰프 거리
정답 보기
1번 마할라노비스 거리
공분산 행렬을 써서 상관을 반영한다.
Q4. 연속형 변수의 거리 측정 방법이 아닌 것은?
- 유클리드 거리
- 자카드 거리
- 맨해튼 거리
- 마할라노비스 거리
정답 보기
2번 자카드 거리
자카드 거리다. 이진·집합 자료의 유사도로 쓴다. 맨해튼·유클리드·마할라노비스는 연속형 변수의 거리다.
Q5. 민코프스키 거리에서 m = 1 일 때와 같은 거리는?
- 체비셰프 거리
- 마할라노비스 거리
- 맨해튼 거리
- 유클리드 거리
정답 보기
3번 맨해튼 거리
맨해튼 거리다. m = 1이면 차이의 절댓값 합(맨해튼), m = 2이면 유클리드 거리다.
Q6. A = {사과, 빵, 우유}, B = {빵, 우유, 계란, 치즈} 의 자카드 계수는?
- 2/5
- 3/5
- 2/4
- 2/3
정답 보기
1번 2/5
교집합 {빵, 우유} 2 개, 합집합 5 개.
Q7. 점 (0, 0) 과 (3, 8) 의 체비셰프 거리는?
- 11
- 3
- √73
- 8
정답 보기
4번 8
좌표 차이 3 과 8 중 큰 값.
헷갈리기 쉬운 O·X
맨해튼 거리는 항상 유클리드 거리보다 작거나 같다.
정답 보기
X 크거나 같다. 직선이 가장 짧다.
변수의 단위가 서로 다르면 표준화한 뒤 거리를 계산하는 것이 좋다.
정답 보기
O
자카드 계수는 연속형 변수 사이의 거리를 재는 대표적인 방법이다.
정답 보기
X 이진·집합 자료의 유사도다.